SECTIO VI. AN LINEA ET SUPERFICIES SINT PROPRIAE SPECIES QUANTITATIS CONTINUAE INTER SE ET A CORPORE DISTINCTAE

1. Punctum nullo modo est species quantitatis .— Hactenus solum ostendimus dari in rebus huiusmodi lineas, et superficies, ac puncta; nunc explicare oportet quomodo participent essentiam quantitatis. Quae dubitatio in punctis locum non habet; nam cum omni ex parte indivisibilia sint, quantitatis essentialem rationem non participant. Et ideo omnes supponunt punctum non esse quantitatis speciem, nec vero aliud praedicamentum constituere, sed reduci ad praedicamentum quantitatis tamquam principium eius, et quid incompletum in eo genere. E contrario vero de corpore etiam nulla est quaestio ob causam oppositam, scilicet, quia, si quae est species completa quantitatis, maxime hoc convenit corpori, quod extensum est undique, et divisibile secundum omnem dimensionem. Et ab illo maxime habet substantia materialis molem corpoream et impenetrabilitatem cum allis corporibus.

Difficultas questionis aperitur

2. De linea vero et superficie est specialis difficultas. Primo quidem, quia videntur entia incompleta in genere quantitatis; nam sicut punctum est principium lineae, ita linea est principium superficiei, et superficies corporis; ergo solum corpus est completa quantitas, reliqua vero omnia sunt principia eius propinquiora vel remotiora; sunt ergo omnia incompleta in eo genere. Responderi potest lineam et superficiem una ratione divisibiles esse, altera indivisibiles, et hac posteriori ratione non esse quantitates, sed terminos aut principia quantitatum; priori vero ratione esse completas quantitatis species, nam sunt essentialiter extensiones quaedam. Sed contra hanc responsionem, quae communis esse videtur, argumentor, quia cum tres sint dimensiones quantitatis, longitudo, latitudo et profunditas, aut singulae ex his dimensionibus sunt de essentia singularum specierum, aut de essentia lineae est una dimensio, de essentia superficiei duae, et de essentia corporis tres. Primum dici non potest. Si vero dicatur secundum, plane sequitur priores species comparari ad ultimam ut incompletas ad completam; ergo.

3. Minor quoad priorem partem probatur, quia illae dimensiones non possunt ita praescindi, ut una non includat alteram, alias impossibile est eas distinguere. Nam si quis velit concipere et explicare extensionem latitudinis, non poterit id efficere per id praecise quod addit latitudo supra longitudinem, sed necesse est ut in extensione latitudinis longitudinem intrinsece includat; ergo in essentia superficiei includitur linea, ut longitudo est, et non tantum ut indivisibilis est, et idem est de superficie respectu corporis. Et confirmatur hoc ac declaratur; nam si hae dimensiones praecise et secundum singulas tantum divisibilitates considerentur, non videntur differre formaliter in ratione extensionis; ergo solum distinguuntur penes numerum (ut ita dicam), quatenus, scilicet, una includit tres, aut duas, vel unam tantum dimensionem. Antecedens patet, quia in superficie latitudo praecise sumpta longitudo quaedam est, cuius signum est quia ipsam latitudinem seu quantitatem eius linea metimur; ergo extensio lineae et latitudinis eiusdem rationis sunt; nam mensura esse debet homogenea mensurato; ergo superficies nihil aliud esse videtur quam extensio habens duplicem longitudinem versus diversas partes seu positiones, et corpus erit habens triplicem longitudinem; nam etiam profunditatem longitudine metimur; ergo non possunt hae species distingui, nisi quatenus una aliam includit. Et confirmatur, nam hac ratione dixit Aristot., I Poster., lineam esse de definitione superficiei, et superficiem de definitione corporis.

4. Quoad aliam vero partem probatur minor, nam imprimis, si de ratione corporis sunt omnes tres dimensiones, ergo corpus in essentiali ratione sua includit superficiem et lineam, non tantum ut sunt indivisibiles, sed prout unam vel duas extensiones habent; ergo linea et superficies non erunt quantitates completae, sed incompletae et ordinatae ad componendum corpus secundum dimensiones quas habet. Ac deinde ad summum distinguentur haec tria membra secundum magis et minus intra eamdem speciem. Nam si dimensiones ipsae praecise ac sigillatim sumptae formaliter non differunt, solum distinguuntur numero, et non ut entia totalia, sed ut partialia componentia unum; ergo solum haec differunt inter se tamquam entia magis vel minus composita intra eamdem rationem; nec refert si quis dicat in numeris causari diversitatem specificam ex additione unitatis, licet unitates omnes sint eiusdem rationis. Nam, quamvis id admittatur in quantitate discreta, quae sicut non est verum ens per se, ita nec veras ac reales species habet, in quantitate autem continua hoc non habet locum, quae sicut est verum ac per se ens, ita species eius non nisi ex propriis rerum differentiis distinguendae sunt. Sicut solet quantitas continua distingui in bicubitam, tricubitam, etc., et tamen illa distinctio non est in veras species quantitatis reipsa distinctas, sed ratione tantum; ita ergo erit in praesenti, si dimensiones istae non formaliter, sed materialiter tantum distinguantur.

Quaestionis resolutio

5. Dicendum nihilominus est lineam et superficiem esse veras quantitatis species, inter se et a corpore distinctas. Haec est sententia Aristotelis, et ab omnibus philosophis et in scholis omnibus communiter recepta. Neque oportet aliter hanc sententiam probare quam solvendo difficultatem tactam; nam ex ea constabit quomodo unicuique harum specierum essentialis ratio quantitatis integre conveniat; quomodo item in unaquaque earum sit extensio formaliter diversa, ideoque ipsae sint quantitates specie diversae. Et hoc sumi etiam potest ex scientia geometriae, in qua distinctae prisiones de his speciebus demonstrantur. Quod autem praeter has species quantitatis continuae non sint aliae, constabit magis ex sectionibus sequentibus. Nunc in quantitate permanente et intrinseca (ut aliqui vocant), res est etiam communis et clara, quia non possunt intelligi plures modi extremorum aut terminorum continuantium, praeter puncta, lineas et superficies. Unde mathematici, ut colligant numerum harum specierum, cogitatione effingunt lineam describi ductu puncti, superficiem ductu lineae versus latus, corpus ductu superficiei versus latitudinem; nec possunt concipi plures differentiae harum dimensionum. Item hoc demonstrant quia lineae rectae non possunt perpendiculariter sese intersecare, ita ut angulos rectos conficiant, nisi tribus modis, scilicet, describendo crucem duabus lineis, et tertia utramque per illud punctum in quo se secant, configendo; his namque tribus lineis tres dimensiones respondent, ut constat, nec plures possunt excogitari. Solet etiam hoc magis physice ostendi ex differentiis positionum, quae tantum sunt tres, tribus dimensionibus correspondentes, scilicet, sursum et deorsum, longitudini; dextrum et sinistrum, latitudini; ante et retro, profunditati. Lege Arist., I de Caelo, c. 1; et Ptolom., lib. de Dimens.; et nostrum Clavium, in sua Sphaera, c. 1.

Ad rationes dubitandi respondetur

6. Ad difficultatem ergo propositam recte in principio responsum est lineam (et idem est proportionaliter de superficie) esse entitatem quamdam ex se et per se habentem propriam extensionem, quam substantiae communicat, et ideo sub ea ratione esse veram et completam quantitatis speciem. Quamquam quia huiusmodi ens simul etiam indivisibile est, sub alia ratione possit terminare et copulare partes alterius extensionis, et ut sic possit ens incompletum appellari; incompletum (inquam) non in toto genere quantitatis, sed in specie superficiei. Punctum enim et in toto genere quantitatis est incompletum, quia nullam habet extensionem, et peculiariter in specie lineae, quia est proprium principium eius, et in illius definitione ponitur; linea vero in genere quantitatis completum quid est, tamen specie superficiei est quid incompletum, quatenus est principium eius et aliquo modo illam componit.

7. Obiectio .— Dices: hac ratione respondere potest aliquis etiam materiam primam vel formam esse speciem completam substantiae; nam licet, prout componunt unam substantiam sint incompletae prout sunt tales entitates substantiales habent suas rationes et essentias completas. Et e converso ignis et aqua dici poterunt entia incompleta; nam licet secundum se in suis speciebus completa sint, quatenus componunt unum universum sunt incompleta.

8. Responsio .— Respondetur neque esse novum aut singulare ut unum et idem ens secundum diversas rationes et respectus sit completum et incompletum, neque id esse extendendum ad quaelibet entia sine vera ratione aut fundamento. Primum patet, nam eadem dependentia in ratione viae est incompletum ens, et in ratione actionis est ens completum in illo genere, et alia exempla superius proposita sunt. Maximeque habet hoc locum in accidentibus, quia cum absolute in genere entis sint incompleta entia, facile possunt diversis respectibus esse completa vel incompleta accidentia in ordine ad diversas species. Alteram vero partem recte probant exempla adducta; tamen quod ad praesens spectat, non sunt similia; nam materia et forma sub nulla ratione participant integre essentiam substantiae, et ideo non possunt in eo genere completa entia vocari. E contrario vero aqua et ignis ita sunt completa entia in genere substantiae, ut natura sua non ordinentur ad componendum aliquod completum ens quod sit vere ac per se unum in aliquo genere; neque enim universum est huiusmodi ens, neque ipsa entia ipsum componunt per veram et realem unionem inter se, sed tantum ordine quodam. Linea vero proprie ac per se unitur superficiei partibus, et ad hoc est natura sua instituta, neque alio modo potest naturaliter existere, etiamsi alioqui completum quamdam extensionem quantitatis habeat. In quo est magnum discrimen inter substantiam et accidentia, ut dixi; nam substantia, quae est simpliciter completa in genere substantiae (physice loquimur), nunquam potest esse talis ut natura sua instituatur vel ordinetur ad componendam aliquam completam substantiam, formaliter ac per seipsam, eo quod ens completum in genere substantiae sit simpliciter completum in genere entis. At vero accidens, licet sit completum in aliqua specie accidentis, potest sub alia ratione habere aptitudinem ut instituatur ad componendam aliam speciem accidentis. Sicut etiam in genere qualitatis, tam potentia, quam actus, est qualitas completa, et nihilominus una ordinatur ad aliam, ut potentia ad actum, vel ut actus ad potentiam, sub qua ratione utrumque incompletum quid existimari potest.

Quomodo tres dimensiones inter se comparentur

9. Ad alteram partem seu replicam contra hanc responsionem, si modum loquendi philosophorum consideramus, satis incertum est quid sentiant de his dimensionibus et de modo quo in his speciebus quantitatis includuntar. Mihi tamen ita videtur sentiendum, ut imprimis dicamus has tres dimensiones, longitudinem, latitudinem et profunditatem, esse inter se diversarum rationum. Quod facile probatur, quia longitudo sola, versus quamcumque partem protendatur, sursum, deorsum et versus omnia latera, non efficiet planitiem aut latitudinem, quia non potest latitudo componi ex solis indivisibilibus lineis secundum eam rationem qua indivisibiles sunt, neque etiam quatenus sunt divisibiles, quia ut sic non efficient nisi maiorem longitudinem. Unde nec lineae solae poterunt quasi continue extendi versus omnem partem, nisi inter eas interponatur aliud genus extensionis, diversae rationis ab extensione linearum, et hanc extensionem vocamus latitudinem. Eademquc proportio est latitudinis ad profunditatem. Neque contra hoc obstat ratio superius facta de mensura longitudinis. Ex illo enim indicio solum habetur in superficie aut corpore reperiri lineas ex omni parte et secundum omnem positionem, atque ita esse permixtas has dimensiones ut non possit aliqua planities vel profunditas reperiri, in qua non sit interposita longitudo; atque inde fit ut omnis quantitas ex quacumque parte possit per longitudinem mensurari. Illa autem mensura non est formalis mensura latitudinis vel profunditatis, quia una non commensuratur aut adaequatur immediate alteri; sed potest dici mensura virtualis seu mediata, quatenus ex longitudine unius lateris et alterius colligi potest, per principia mathematicae, quanta sit extensio totius plani. Cum autem Aristoteles dixit mensuram debere esse homogeneam mensurato, loquitur de mensura formali adaequata, quae per coaptationem ad rem quantam eius magnitudinem notificat. Et hoc modo planum plano immediate mensuramus, et corpus corpore, quomodo vini quantitatem amphora mensuramus.

10. Formalis differentia inter lineam, superficiem et corpus .— Deinde dicendum est has species non differre proprie penes numerum dimensionum, formaliter loquendo, sed quasi praesuppositive; superficies enim proprie differt a linea, quia habet propriam quamdam extensionem diversae rationis ab extensione lineae; et corpus similiter differt ab utraque, quia aliam propriam extensionem habet; tamen, quia extensio lineae alias non includit, neque etiam formaliter supponit, ideo definiri solet linea quod sit quantitas unius seu primae dimensionis, vel longitudinem habens sine latitudine et profunditate. At vero extensio superficiei necessario supponit et includit aliquo modo extensionem lineae, non quia formaliter illa constituatur, sed quia indiget lineis ad suarum partium continuationem et terminationem, et ideo dicitur superficies quantitas duarum dimensionum, seu habens latitudinem et longitudinem sine profunditate, quamvis non eodem modo utramque dimensionem includat; nam formaliter (ut sic dicam) includit latitudinem; longitudinem vero quasi materialiter aut praesuppositive, quod alii dicunt includere latitudinem in recto, longitudinem vero in obliquo; nam superficies definiri potest quod sit latitudo longitudine continuata. Atque eadem proportione loquendum est de corpore; nam definiri potest quod sit quantitas trium dimensionum, seu habens profunditatem cum latitudine et longitudine, quod eodem sensu accipiendum est.

11. Solum est in his nominibus cavenda aequivocatio; hae namque voces in alia significatione vulgo accipi solent; nam in plano inaequalium laterum minor extensio appellari solet latitudo, maior vero dicitur longitudo, cum tamen, mathematice loquendo, in utroque latere sit longitudo linearurn, et propria extensio latitudinis, quae ad superficiem pertinet. Unde in plano quadrato, vel nullum latus potest dici planum aut longum in eo vulgari sensu, vel aequaliter et ad arbitrium loquentis utrumque latus potest ita appelari. Similiter altitudo, profunditas et crassities appelleri solent in corporibus penes quamdam proportionem ad corpus humanum, seu ad differentias positionum; altitudo enim dicitur extensio seu expansio versus superiorem locum, profunditas versus inferiorem; extensio vero, quae est in transverso, seu penes ante et retro, sinistrum aut dextrum, vocatur crassities seu corpulentia, quae omnia nos per modum longitudinis mensuramus. Proprie tamen et philosophice loquendo, profunditas seu corpulentia significat propriam corporis extensionem a latitudine et longitudine distinctam.